第33章 请神（来自凌晨三点的更新） (第2/2页)

（4）若n∈S，则An+B∈S。
　　
　　证明：与B互素的所有正整数均属于S.】
　　
　　“数论？”
　　
　　陈辉皱眉。
　　
　　他并不擅长数论。
　　
　　但他也没有自暴自弃，将已知性质和结论转化成数论语言，他轻易的就找到了目标。
　　
　　就是要去构造一个与B互素的数，假设为p，再证明p∈S即可。
　　
　　再根据性质3，若pi，pj互素，则pi·pj∈S，又根据素数分解定理，每个大于1的正整数都可以唯一地表示为若干个素数的乘积，并且这些素数的幂次是唯一的。
　　
　　所以P可以写成p1^α1·p2^α2···pm^αm，其中p1到pm均为素数。
　　
　　也就是说，只需要证明pi^k∈S（k为任意非负整数），就能证明P∈S。
　　
　　很快，陈辉就有了思路，根据题目，如果pi能够被A整除，那么根据性质1和性质2，轻易就能得出pi^k∈S。
　　
　　可若是pi不能整除A呢？
　　
　　不能整除，就说明pi与A也互素，同时因为Pi为P的分解素数，P与B互素，那么pi与B也互素。
　　
　　性质123都已经用了，所以接下来必然会用到性质4。
　　
　　An+B∈S
　　
　　这个性质应该怎么利用呢？
　　
　　陈辉绞尽脑汁，却一筹莫展，这还是他洞察力提升后，第二次遇到这种情况，这让他想到了在数竞队张安国给他出的题，当时他也是像现在这般。
　　
　　后来他知道张安国那道题有常规的解法，只是他当时不知道而已。
　　
　　所以，这道题必然也有某个解法，或者公式定理是自己没有想到的！
　　
　　可陈辉没有深入研究数论，大脑中也并没有关于数论的体系，一时之间竟然都不知道该从什么地方去寻找这种解法或者公式定理。
　　
　　解法，公式定理，说白了，就是前人搭的梯子。
　　
　　牛顿说过，他能有那般成就，不过是站在了巨人的肩膀上。
　　
　　所以，解法当然要从前辈先贤身上去找！
　　
　　陈辉大脑飞速运转，开始头脑风暴。
　　
　　擅长数论的数学家很多，但目前陈辉了解的也就那么几个，费马、欧拉、高斯。
　　
　　费马研究的东西天马行空，费马大小定理，亲和数，素数分布，这些定理在数论中的地位举足轻重。
　　
　　但他一生只玩高端局，并且都是让后人帮他证明，高中生的题目应该还轮不到费马出马吧？
　　
　　高斯主要研究的是代数数论，比如二次互反律，算术几何平均之类的问题，显然跟这道题的调性不符。
　　
　　所以，是欧拉吗？
　　
　　一番分析，陈辉将目标锁定在了这位数学国王身上。
　　
　　他有些振奋，他对欧拉的了解其实是要比其他两人更多的。
　　
　　这还是因为当时学习欧拉积分时，听了安老师的建议。
　　
　　否则他就只能抓瞎了。
　　
　　死马当成活马医，没有选择的选择，就是最好的选择。
　　
　　陈辉开始回想欧拉一生中提出的，关于数论方面的定理。
　　
　　他也不是拧巴的人，如果从欧拉身上找不到解题方法，那就放弃这道题，回去好好研究数论，明年再来便是。
　　
　　欧拉一生发表了超过1500篇论文，提出的定理公式理论浩繁如星海。
　　
　　经过提升的记忆力帮了陈辉大忙，有极强的洞察力辅助，虽然只是看了一遍欧拉的生平，但对欧拉提出的重要的公式和定理他都记得很清楚。
　　
　　既然想到欧拉，那么自然能想到他在数论领域大名鼎鼎的欧拉定理。
　　
　　欧拉定理！
　　
　　很快，陈辉眼前亮起刺目的光芒。
　　
　　找到了！
　　
　　他找到了！
　　
　　解题的钥匙果然藏在欧拉身上！
　　
　　欧拉定理：
　　
　　若a和n是正整数，且a和n互素（即最大公约数为1），则a的φ(n)次方对n取模的结果为1，即aφ(n)≡1(modn)
　　
　　陈辉陷入前所未有的兴奋状态，无数思路如同泉水般在大脑中涌现。
　　
　　【由欧拉定理，A^aφ(pi^k)·n+B≡n+b(modpi^k)，则令a0=1，an=A^aφ(pi^k)·A^n+B，则an≡A^n+B(modpi^k)，又因为(pi，A)=1，(pi，B)=1，所以当n从0取到pi^k时，an可以取到pi^k的完全剩余系，此时必有at=t·pi^k∈S，所以pi^k∈S！
　　
　　综上所述……】
　　
　　证明完毕！