第171章 天阶斗技 (第1/2页)

“各位老师好，我是云川。
　　
　　我的论文题目是《高余维极小曲面在加权SObOlev空间中的紧性理论与Almgren猜想的一个变体》。”
　　
　　论文长度和密度让台下学长学姐倒吸凉气。
　　
　　天阶斗技就这么水灵灵地亮出来。
　　
　　云川看了眼5位正襟危坐的老师，缓缓开口，声音不高，掷地有声。
　　
　　“极小曲面理论是几何测度论的核心分支之一。
　　
　　它的研究对象是满足某种极小性条件的曲面。
　　
　　经典的PlateaU问题，即在给定边界条件下寻找面积最小的曲面——已经被解决，但高余维的情况要比余维一的情况复杂得多。
　　
　　主要原因在于，高余维极小曲面可能出现奇异集，而这些奇异集的结构至今没有被完全理解。”
　　
　　“Almgren在他1999年的专著中，对高余维极小曲面的奇异集结构做出了开创性分析，证明了奇异集的HaUSdOrff维数不超过n-2。
　　
　　但他的证明依赖于一套极其复杂的非线性逼近理论。
　　
　　技术难度极高。
　　
　　后续学者在推广和应用时遇到了很多困难。
　　
　　我这篇论文可以看作是对Almgren理论框架的一种简化和推广。”
　　
　　好，前言介绍结束，开始动真格。
　　
　　云川扒拉了一下鼠标，PPT翻到第4页。
　　
　　“我引入了一个加权SObOlev空间的框架，定义了空间W^{1,p}(Ω,W)。
　　
　　其中W是一个属于A_p类的MUCkenhOUpt权函数。
　　
　　这个空间相比于传统的SObOlev空间，能够更好地描述极小曲面在某些退化或奇异区域附近的性态。
　　
　　我的第一个主要定理是：在这个加权SObOlev空间中，高余维极小曲面的拟嵌入序列具有某种紧性。”
　　
　　“这个紧性定理的证明，依赖于我对Almgren的‘多次逼近’技术做的一个关键改进。
　　
　　Almgren原来的方法需要构造一个无限迭代的逼近序列，每一步都要重新调整尺度函数，计算量极大，而且对初始条件非常敏感。
　　
　　我改用了一种基于加权MOrrey空间的估计方法，将逼近次数从无限次压缩到了有限次，并且给出了一个显式的误差控制。”
　　
　　说到这，云川干脆拿起粉笔，在身后的黑板上写下推导公式。
　　
　　发出的笃笃声，像恐怖片里的间奏，狠狠砸落所有人心房。
　　
　　亲眼目睹云川刻意留白，让答辩老师消化理解，学长学姐们头皮发麻。
　　
　　对数院云川的含金量有了更直观、具体的认知。
　　
　　本科答辩还能这样？
　　
　　哪是答辩啊，分明搁这开讲座呢。
　　
　　答辩老师都快成迷弟了。
　　
　　“具体来说，我证明了如果{U_k}是极小曲面的一个拟嵌入序列，那么在经过适当的伸缩和平移之后，存在一个子序列在加权SObOlev空间中强收敛到一个极限函数U。
　　
　　而这个极限函数本身也描述了一个广义极小曲面。
　　
　　这个结果的意义在于，它为研究高余维极小曲面的紧性提供了一种新的工具，而且相比于Almgren原来的方法，更容易推广到其他几何变分问题中。”
　　
　　台下，5位老师面面相觑，恍如隔世。
　　
　　等会儿等会儿，什么叫你为研究高余维极小曲面的紧性提供了一种新的工具？
　　
　　

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